Construyendo superficies
María Pe Pereira, que es licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid y actualmente disfruta de una beca posdoctoral de CajaMadrid en el Institut de Mathématiques de Jussieu en París, presenta el vigésimo sexto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 13 de septiembre (medianoche del lunes, hora peninsular española) a problemamatematicas@gmail.com y gana una biblioteca matemática como la que cada semana distribuye EL PAÍS. Este domingo en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.
A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.
El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en el vídeo (ver aquí la imagen ampliada). Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,...etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).
Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.
Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.
Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.
En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar o en la cinta de Moebius o en una de las anteriores -la esfera, el flotador...- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos; o encombinaciones que no detallamos aquí de estas dos primeras posibilidades. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar a una esfera a la que le recortamos 3 discos.
Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer...- se puede conseguir exáctamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie?
