Una sola medición

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Ya hay solución para el trigésimo octavo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española, el tercero y último de los propuestos por los lectores

Francisco Javier Masip Usón, licenciado en Medicina y jefe de sección de control de mercado de la D.G. de Consumo del Gobierno de Aragón, lo propuso (ver vídeo de la izquierda) y ahora lo resuelve (vídeo de la derecha).

La práctica totalidad de nuestros lectores han demostrado conocer cómo calcular la superficie de un anillo circular. Nos alegra haber conseguido el objetivo de que los desafíos propuestos por los lectores fuesen variados, tanto en cuanto al tipo de matemáticas que involucraban como a su dificultad. Se han recibido en el plazo previsto 494 respuestas, de las que un 86% eran correctas; el resto han precisado de un mayor número de mediciones. El ganador de una de biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Abel Ibáñez López, de Madrid.

Recordemos brevemente que el desafío versaba sobre el cálculo de una superficie con forma de anillo circular, en una plaza, utilizando para ello el menor número de mediciones consideradas entre cada dos puntos.

La solución es que basta con una única medición, que se correspondería con una cuerda de la circunferencia exterior (el perímetro de la plaza), que a su vez fuese tangente en un punto a la circunferencia interior (la fuente). Mediríamos la distancia entre los dos puntos en que dicha cuerda corta a la circunferencia exterior; con esa medida, que llamaremos A, es suficiente para calcular la superficie del anillo circular.

Ya en el plano, dibujaremos, como se muestra en la figura de la izquierda (ver ampliación aquí), la cuerda obtenida (A) y otra paralela a la anterior y tangente en el otro punto de la fuente diametralmente opuesto al precedente. Con esas dos líneas y las perpendiculares en el punto de corte del círculo externo compondremos un rectángulo. A continuación trazamos la diagonal de ese rectángulo y se nos delimitan dos triángulos rectángulos en los que un cateto es la cuerda (A), la hipotenusa se corresponde con el diámetro de la circunferencia mayor (2R) y el otro cateto se va a corresponder con el diámetro del círculo menor (2r)

Conociendo el cateto A y utilizando el Teorema de Pitágoras tendremos A^2=4R^2 - 4r^2= 4 (R^2 - r^2); de donde (R^2 - r^2) = A^2 /4.

Considerando que el área del anillo sería igual a Pi x (R^2 - r^2) y sustituyendo aquel valor en esta fórmula se obtiene que la superficie del anillo es igual a Pi x A^2 /4.

La gran mayoría de las respuestas correctas han reducido esta solución al triángulo que formarían los radios de ambas circunferencias y la mitad de la cuerda que hemos considerado. Ambas formas de resolver el desafío son equivalentes desde un punto de vista matemático, ya que se apoyan en triángulos semejantes, y por tanto son igualmente válidas. Ahora bien, a la hora de llevarlo a la práctica, tal como nos confirma en su respuesta desde México el ingeniero de caminos cántabro Francisco Pi Rodríguez, la medición íntegra de la cuerda ofrecería más garantías que la de la simple tangente, que requiere conocer el centro de ambos círculos y verificar que se ha trazado correctamente el ángulo comprendido entre el radio y la tangente.

La solución que se presenta en el vídeo, incorporando un eje que uniese los dos centros y utilizando la cuerda paralela a ese eje y tangente al círculo menor, nos abre el camino para poder calcular la superficie, siempre con una sola medición, incluso si los círculos no fuesen concéntricos, como nos comenta también Luis Alberto Gómez Concepción desde Venezuela.

Una solución diferente es la que plantean, de forma muy parecida, Lola M., Ángel Alonso y Miguel Ángel Abós Sanz, utilizando para ello las relaciones trigonométricas del ángulo que formarían la cuerda tangente y el radio de la circunferencia mayor que parte desde el punto común con esa cuerda.

Sergio López Goikolea desarrolla un modelo basado en el teorema de la altura, trazando en el plano un diámetro perpendicular a la medición que se realiza en la plaza, de manera que aquel quedaría dividido en dos segmentos de longitudes (R + r) y (R - r), cuyo producto se igualaría al cuadrado de la altura del triángulo que se forma entre ese diámetro y uno de los puntos en los que la cuerda toca a la circunferencia exterior.

Otro tipo de propuestas las plantean Miguel Feror y Jesús Carretero, con matices diferentes, pero ambas basadas en las ecuaciones del círculo mayor y la recta tangente; hallando las soluciones o puntos de corte y calculando las distancias entre las mismas.

Son muchas más las respuestas que podríamos destacar por diferentes motivos, entre ellas citaremos las de Enrique Farré Rey, quien menciona el Teorema de Holditch y su relación con este desafío, José Manuel Otón, por sus comentarios acerca del problema planteado en la esfera, Ángel Herrero, por su respuesta narrada en forma de cuento y Violeta Martínez Pinilla, de 14 años, al parecer la concursante más joven entre las respuestas correctas recibidas.

Para finalizar, queremos destacar la respuesta de Iago Vaamonde Paniagua,la más original, ingeniosa y bella a todas luces, plasmada en un soneto:

Tengo, Jabón, la cinta en este extremo / tocando la exterior circunferencia. / Avanza tú siguiendo con paciencia / el borde mismo con el hilo tenso. // Llegarás a saber, si es como pienso / como por arte y obra de la ciencia / hilo y fuente hacen una su presencia / con un beso gentil: es el momento. // Dime ya la mitad de la medida, / elévala al cuadrado en un intento, / multiplica por pi; está conseguida. // Calculamos el área del cemento / con un solo medir, austera vida, / no gastaremos más, y fin del cuento.

El jueves plantearemos un nuevo desafío.

Más información

  • El ganador del 38º desafío es Abel Ibáñez López, de Madrid